Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a{{（x-1）}^2}+1，}&{x≥0}\\{{2^{-x}}，}&{x＜0}\end{array}}\right.$
①若f（f（-1））=0，則實數(shù)a=-1；
②在①的條件下，若直線y=m與y=f（x）的圖象有且只有一個交點，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 ①利用分段函數(shù)的表達式，利用代入法進行求解即可．
②作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：①由分段函數(shù)的表達式得f（-1）=2^-（-1）=2，f（2）=a+1，
則由f（f（-1））=0，得f（2）=a+1=0，得實數(shù)a=-1；
②在①的條件下，a=-1，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-1）^{2}+1，}&{x≥0}\\{{2}^{-x}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖
由圖象知當x＜0時，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，且f（x）＞1，
當x≥0時，f（x）≤1，
∴要使直線y=m與y=f（x）的圖象有且只有一個交點，則m≥1或m＜0，
即實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）∪[1，+∞），
故答案為：-1；（-∞，0）∪[1，+∞）

點評 本題主要考查分段函數(shù)的表達式的應用，利用代入法以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度不大．