Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*．設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，已知b₁≠0，2b_n-b₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=b_n•log₃a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）證明：對任意n∈N^*且n≥2，有$\frac{1}{{{a_2}-{b_2}}}$+$\frac{1}{{{a_3}-{b_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}-{b_n}}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷a_n}是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，判斷{b_n}是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式為b_n．
（Ⅱ）化簡c_n的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求解T_n即可．
（Ⅲ）化簡$\frac{1}{{{a_n}-{b_n}}}$并利用放縮法，通過數(shù)列求和證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=3a_n，∴{a_n}是公比為3，首項(xiàng)a₁=1的等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式為a_n=3^n-1．…（2分）
∵2b_n-b₁=S₁•S_n，∴當(dāng)n=1時(shí)，2b₁-b₁=S₁•S₁，
∵S₁=b₁，b₁≠0，∴b₁=1． …（3分）
∴當(dāng)n＞1時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是公比為2，首項(xiàng)a₁=1的等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式為b_n=2^n-1．…（5分）
（Ⅱ）c_n=b_n•log₃a_n=2^n-1log₃3^n-1=（n-1）2^n-1，…（6分）
T_n=0•2⁰+1•2¹+2•2²+…+（n-2）2^n-2+（n-1）2^n-1…①
2T_n=0•2¹+1•2²+2•2³+…+（n-2）2^n-1+（n-1）2ⁿ…②
①-②得：-T_n=0•2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）2ⁿ
=2ⁿ-2-（n-1）2ⁿ=-2-（n-2）2ⁿ
∴T_n=（n-2）2ⁿ+2．  …（10分）
（Ⅲ）$\frac{1}{{{a_n}-{b_n}}}$=$\frac{1}{{{3^{n-1}}-{2^{n-1}}}}$=$\frac{1}{{3•{3^{n-2}}-{2^{n-1}}}}$=$\frac{1}{{{3^{n-2}}+2（{3^{n-2}}-{2^{n-2}}）}}$≤$\frac{1}{{{3^{n-2}}}}$+$\frac{1}{{{a_2}-{b_2}}}$+$\frac{1}{{{a_3}-{b_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}-{b_n}}}$
＜$\frac{1}{3^0}$+$\frac{1}{3^1}$+…+$\frac{1}{{{3^{n-2}}}}$=$\frac{{1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}}}{{1-\frac{1}{3}}}$
=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$）＜$\frac{3}{2}$． …（14分）

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法以及放縮法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．