Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點．
（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥PC．AC⊥BC．通過直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）判斷∠PCE為二面角P-AC-E的平面角，利用余弦定理即可求解．
（Ⅲ）作PF⊥CE，F(xiàn)為垂足．連接AF，說明∠PAF就是直線PA與平面EAC所成角．然后解三角形即可求解直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=$\sqrt{2}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，
∴AC⊥CP，AC⊥CE，
∴∠PCE即為二面角P-AC-E的平面角．  …（6分）
∵PC=AB=2AD=2CD=2，
∴在△PCB中，可得PE=CE=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴cos∠PCE=$\frac{{C{P^2}+C{E^2}-P{E^2}}}{2CP•CE}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$． …（9分）
（Ⅲ）作PF⊥CE，F(xiàn)為垂足．
由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，
∵平面平面EAC∩平面PBC=CE，
∴PF⊥平面EAC，連接AF，
則∠PAF就是直線PA與平面EAC所成角．  …（11分）
由（Ⅱ）知CE=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∴PF=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴sin∠PAF=$\frac{PF}{PA}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$． …（13分）

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．