Question

16．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$（x＞-1），設(shè)F（x）=f（x-4），且函數(shù)F（x）的零點在區(qū)間[a-1，a]（a∈Z）內(nèi)，則${（x+\frac{a}{2}）}^{a}$的展開式中x³的系數(shù)為（　　）

• A． 20
• B． 15
• C． 12
• D． 8

Answer 1

分析 由題意可得f（0）=1，f（-1）＜0，利用導(dǎo)數(shù)可得f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，f（x）在（-1，0）上有唯一零點，可得F（x）的零點所在的區(qū)間為（3，4），求得a=4．再利用二項展開式的通項公式求得${（x+\frac{a}{2}）}^{a}$的展開式中x³的系數(shù)．

解答 解：由題意可得f（0）=1，f（-1）=1-1+（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）+（-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$）+…+（-$\frac{1}{2014}$+$\frac{1}{2015}$）＜0，
f′（x）=1-x+x²-x³+…+-x²⁰¹³+x²⁰¹⁴ 在（-1，0）上大于零，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，
故f（x）在（-1，0）上有唯一零點．
F（x）=f（x-4）=f（x-4）-$\frac{{（x-4）}^{2}}{2}$+$\frac{{（x-4）}^{3}}{3}$-$\frac{{（x-4）}^{4}}{4}$+…+$\frac{{（x-4）}^{2015}}{2015}$的圖象，是把f（x）的圖象向右平移4個單位得到的，
故F（x）的零點所在的區(qū)間為（3，4）．
再根據(jù)數(shù)F（x）的零點在區(qū)間[a-1，a]，可得a=4，
故則${（x+\frac{a}{2}）}^{a}$=（x+2）⁴，故則${（x+\frac{a}{2}）}^{a}$的展開式中x³的系數(shù)為 ${C}_{4}^{1}$•2=8，
故選：D．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點的判定定理，二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于中檔題．