【題目】如圖,三棱柱中,底面為正三角形, 底面,且, 是的中點.
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面平面;
(3)在側(cè)棱上是否存在一點,使得三棱錐的體積是?若存在,求出的長;若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)連接交于點,連,由三角形中位線的性質(zhì)得,再根據(jù)線面平行的判定可得結論。(2)先證平面,再由面面垂直的判定定理可得平面平面。(3)假設存在點滿足題意,不妨設,由可得,從而可得點確實存在,且。
試題解析:
(1)如圖,連接交于點,連。
由題意知,在三棱柱中,平面,
∴四邊形為矩形,
∴點為的中點.
∵ 為的中點,
∴.
∵ 平面,平面.
∴ 平面.
(2)∵底面為正三角形,是的中點,
∴,
∵ 平面,平面,
∴ .
∵ ,
∴ 平面,
∵ 平面,
∴平面平面.
(3)假設在側(cè)棱上存在一點,使三棱錐的體積是.
設。
∵ ,,
∴ ,
即,
解得,
即.
∵ ,
∴ 在側(cè)棱上存在一點,使得三棱錐的體積是,此時.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線的焦點,斜率為的直線交拋物線于兩點,且.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點,過點作拋物線的兩條弦和,且,判斷直線是否過定點?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校高二年級進行了百科知識大賽,為了了解高二年級900名同學的比賽情況,現(xiàn)在甲、乙兩個班級各隨機抽取了10名同學的成績,比賽成績滿分為100分,80分以上可獲得二等獎,90分以上可以獲得一等獎,已知抽取的兩個班學生的成績(單位:分)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖1所示:
(1)比較兩組數(shù)據(jù)的分散程度(只需要給出結論),并求出甲組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2中所示的值;
(2)現(xiàn)從兩組數(shù)據(jù)中獲獎的學生里分別隨機抽取一人接受采訪,求被抽中的甲班學生成績高于乙班學生成績的概率.
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【題目】在如圖所示的多面體中, 平面, 平面, ,且, 是的中點.
(Ⅰ)求證: .
(Ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
(Ⅲ)在棱上是否存在一點,使得直線與平面所成的角是.若存在,指出點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知圓過兩點, ,且圓心在直線上.
(Ⅰ)求圓的標準方程;
(Ⅱ)直線過點且與圓有兩個不同的交點, ,若直線的斜率大于0,求的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否存在直線使得弦的垂直平分線過點,若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線,直線過拋物線焦點,且與拋物線交于, 兩點,以線段為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是( )
A. 相離 B. 相交 C. 相切 D. 不確定
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【題目】如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形, , 是棱PD的中點,且, .
(I)求證: ; (Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)若是上一點,且直線與平面成角的正弦值為,求的值.
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