【題目】如圖,三棱柱中,底面
為正三角形,
底面
,且
,
是
的中點(diǎn).
(1)求證: 平面
;
(2)求證:平面平面
;
(3)在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)
,使得三棱錐
的體積是
?若存在,求出
的長(zhǎng);若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)連接交
于點(diǎn)
,連
,由三角形中位線的性質(zhì)得
,再根據(jù)線面平行的判定可得結(jié)論。(2)先證
平面
,再由面面垂直的判定定理可得平面
平面
。(3)假設(shè)存在點(diǎn)
滿足題意,不妨設(shè)
,由
可得
,從而可得點(diǎn)
確實(shí)存在,且
。
試題解析:
(1)如圖,連接交
于點(diǎn)
,連
。
由題意知,在三棱柱中,
平面
,
∴四邊形為矩形,
∴點(diǎn)為
的中點(diǎn).
∵ 為
的中點(diǎn),
∴.
∵ 平面
,
平面
.
∴ 平面
.
(2)∵底面為正三角形,
是
的中點(diǎn),
∴,
∵ 平面
,
平面
,
∴ .
∵ ,
∴ 平面
,
∵ 平面
,
∴平面平面
.
(3)假設(shè)在側(cè)棱上存在一點(diǎn)
,使三棱錐
的體積是
.
設(shè)。
∵ ,
,
∴ ,
即,
解得,
即.
∵ ,
∴ 在側(cè)棱上存在一點(diǎn)
,使得三棱錐
的體積是
,此時(shí)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線的焦點(diǎn)
,斜率為
的直線交拋物線于
兩點(diǎn),且
.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)
作拋物線的兩條弦
和
,且
,判斷直線
是否過定點(diǎn)?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高二年級(jí)進(jìn)行了百科知識(shí)大賽,為了了解高二年級(jí)900名同學(xué)的比賽情況,現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)班級(jí)各隨機(jī)抽取了10名同學(xué)的成績(jī),比賽成績(jī)滿分為100分,80分以上可獲得二等獎(jiǎng),90分以上可以獲得一等獎(jiǎng),已知抽取的兩個(gè)班學(xué)生的成績(jī)(單位:分)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖1所示:
(1)比較兩組數(shù)據(jù)的分散程度(只需要給出結(jié)論),并求出甲組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2中所示的值;
(2)現(xiàn)從兩組數(shù)據(jù)中獲獎(jiǎng)的學(xué)生里分別隨機(jī)抽取一人接受采訪,求被抽中的甲班學(xué)生成績(jī)高于乙班學(xué)生成績(jī)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中, 平面
,
平面
,
,且
,
是
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: .
(Ⅱ)求平面與平面
所成的銳二面角的余弦值.
(Ⅲ)在棱上是否存在一點(diǎn)
,使得直線
與平面
所成的角是
.若存在,指出點(diǎn)
的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
,其中
是實(shí)數(shù).
(1)解關(guān)于的不等式
.
(2)若,求關(guān)于
的方程
實(shí)根的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓過兩點(diǎn)
,
,且圓心
在直線
上.
(Ⅰ)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線過點(diǎn)
且與圓
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
,
,若直線
的斜率
大于0,求
的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否存在直線使得弦
的垂直平分線過點(diǎn)
,若存在,求出直線
的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線
過拋物線焦點(diǎn),且與拋物線交于
,
兩點(diǎn),以線段
為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是( )
A. 相離 B. 相交 C. 相切 D. 不確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
為平行四邊形,
,
是棱PD的中點(diǎn),且
,
.
(I)求證: ; (Ⅱ)求二面角
的大小;
(Ⅲ)若是
上一點(diǎn),且直線
與平面
成角的正弦值為
,求
的值.
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