Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n=2a_n+1-1（n∈N^*），令b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{{a}_{{2}^{n}+1}}{{a}_{{2}^{n}}}$，求證：c₁+c₂+…+c_n＜n+$\frac{7}{24}$．

Answer 1

分析 （I）a_n+1a_n=2a_n+1-1（n∈N^*），b_n=a_n-1，即a_n=b_n+1．代入化為：$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=-1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）由（I）可得：a_n=b_n+1=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．代入c_n=$\frac{{a}_{{2}^{n}+1}}{{a}_{{2}^{n}}}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+2}）$，由于n≥2時(shí)，2ⁿ+2≤2ⁿ⁺¹-1，可得$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+2}$＜$\frac{1}{{2}^{n}-1}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （I）解：∵a_n+1a_n=2a_n+1-1（n∈N^*），b_n=a_n-1，即a_n=b_n+1．
∴（b_n+1+1）（b_n+1）=2（b_n+1+1）-1，化為：$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=-1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為-2，公差為-1．
∴$\frac{1}{_{n}}$=-2-（n-1）=-1-n，∴b_n=-$\frac{1}{n+1}$．
（II）證明：由（I）可得：a_n=b_n+1=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴c_n=$\frac{{a}_{{2}^{n}+1}}{{a}_{{2}^{n}}}$=$\frac{\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}+1+1}}{\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}}$=$\frac{（{2}^{n}+1）^{2}}{{2}^{n}（{2}^{n}+1）}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+2}）$，
∵n≥2時(shí)，2ⁿ+2≤2ⁿ⁺¹-1，∴$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+2}$＜$\frac{1}{{2}^{n}-1}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴c₁+c₂+…+c_n≤n+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=n+$\frac{7}{24}$-$\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$＜n+$\frac{7}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．