Question

7．已知拋物線C：y²=4x，直線l：$y=\frac{1}{2}x+b$與C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F時(shí)，求|AB|；
（2）是否存在直線l使得直線OA⊥OB？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理得到x₁+x₂=18，繼而求出|AB|=x₁+x₂+2=20，
（2）假設(shè)直線y=$\frac{1}{2}$x+b，根據(jù)正弦垂直得到x₁•x₂+y₁•y₂=0，根據(jù)韋達(dá)定理得到x₁+x₂=4（4-b），x₁•x₂=4b²，即可求出b的值，問題得以解決．

解答 解：（1）∵F（1，0），
∴l(xiāng)：$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
消去y得：x²-18x+1=0
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=18，
∴|AB|=x₁+x₂+2=20
（2）∵OA⊥OB，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\frac{1}{2}x+b}\end{array}\right.$，
消去y得：x²+4（b-4）x+4b²=0
由△=16（b-4）²-16b²＞0得：b＜2
又 x₁+x₂=4（4-b），x₁•x₂=4b²，
∴${y_1}{y_2}=\frac{{{x_1}+2b}}{2}•\frac{{{x_2}+2b}}{2}$=$\frac{1}{4}[{{x_1}{x_2}+2b（{x_1}+{x_2}）+4{b^2}}]=8b$
∴x₁•x₂+y₁•y₂=4b²+8b=0⇒b=0（舍）或b=-2
∴l(xiāng)：$y=\frac{1}{2}x-2$，即x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，主要考查韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題