Question

4．等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁，a₂分別為等差數(shù)列{b_n}的第1項和第2項，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）b₁=2，b₂=4，可得公差d=2．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 （1）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁=2，a₄=16．
∴2q³=16，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）證明：b₁=2，b₂=4，∴公差d=4-2=2．
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．