Question

13．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上截距相等，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且MP=OP，求點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和半徑，由直線l不過原點，得到該直線在坐標軸上的截距不為0，設出直線l的截距式方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于圓的半徑列出關于a的方程，求出方程的解可得到a的值，確定出直線l的方程；
（2）由切線的性質，得到三角形PCM為直角三角形，利用勾股定理得到|PC|²=|PM|²+r²，表示出|PM|²，由|PM|=|PO|，進而得到|PO|²，由設出的P的坐標和原點坐標，利用兩點間的距離公式表示出|PO|，可得出|PO|²，兩者相等，化簡可得點P的軌跡方程．

解答 解：（1）C：（x+1）²+（y-2）²=2，顯然圓心C（-1，2），半徑r=$\sqrt{2}$，
∵不過原點的直線l在x軸、y軸上截距相等，
∴不妨設l：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}$=1，即x+y-a=0；
又直線l與圓C相切，∴$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=3或-1，
∴l(xiāng)：x+y-3=0或x+y+1=0；
（2）由題如圖，PM與圓C相切于M，∴PM⊥CM，
設P（x，y），由MP=OP得：OP²=MP²=CP²-r²，
∴x²+y²=（x+1）²+（y-2）²-2，
整理得：2x-4y+3=0即為所求．

點評 此題考查了圓的切線方程，以及動點的軌跡方程，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，直線的截距式方程，切線的性質，勾股定理以及兩點間的距離公式，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用切線長，圓的半徑及圓心到圓外點的距離構造直角三角形來解決問題．