Question

13．設復數(shù)z滿足|z|=1，且（3+4i）•z是實數(shù)，求$\frac{1}{z}$．

Answer 1

分析 設z=a+bi（a，b∈R），由題意列方程組求得a，b的值，得到z，再由$\frac{1}{z}=\overline{z}$求得答案．

解答 解：設z=a+bi（a，b∈R），
由|z|=1，得a²+b²=1，①
又（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=（3a-4b）+（4a+3b）i是實數(shù)，
∴4a+3b=0，②
聯(lián)立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
∴$z=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$或$z=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$，
則$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^{2}}=\overline{z}$=$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$或$-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共軛復數(shù)的概念，是基礎的計算題．