Question

2．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為p²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，定點(diǎn)A（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是圓錐曲線C的左、右焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁且平行于直線AF₂．
（Ⅰ）求圓錐曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若直線l與圓錐曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求|F₁M|•|F₁N|．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算直線l的傾斜角，令F₁到直線l上一點(diǎn)P的有向線段t為參數(shù)寫(xiě)出l的參數(shù)方程；，
（II）將直線l的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得出關(guān)于t的方程，利用參數(shù)得幾何意義計(jì)算|F₁M|•|F₁N|．

解答 解：（I）∵p²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，∴3ρ²+ρ²sin²θ=12．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x²+3y²+y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴直線AF₂的斜率k${\;}_{A{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$．∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$．
在l上任取一點(diǎn)P，設(shè)有向線段F₁P的長(zhǎng)為t，
則直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（II）將l的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得$\frac{（-1+\frac{1}{2}t）^{2}}{4}+\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}t）^{2}}{3}=1$，即5t²-4t-12=0．
設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=-$\frac{12}{5}$．
∴|F₁M|•|F₁N|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．