Question

3．設(shè)函數(shù)f （x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin2x+2a
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{4}]$時(shí)，f（x）的最小值為0，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，（{k∈Z}）$，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由$0≤x≤\frac{π}{4}$，得$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，由f（x）的最小值為0，解得a的值，即可求得f（x）的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+2a=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2a$．…（4分）
∴由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，（{k∈Z}）$，
得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，（{k∈Z}）$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]，（{k∈Z}）$． …（8分）
（2）由$0≤x≤\frac{π}{4}$，得$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
故$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
由f（x）的最小值為0，得$\frac{1}{2}+2a=0$，
解得$a=-\frac{1}{4}$．
故f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．