Question

【題目】如圖1，在中，分別是邊上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使如圖2．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由已知可得，，可證平面，進(jìn)而有平面，即可證明結(jié)論；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面平面，在正中過(guò)作，垂足為，則有平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，確定坐標(biāo)，求出平面法向量坐標(biāo)，按照空間向量線面角公式，即可求解.

（Ⅰ）在圖1中，分別為邊中點(diǎn)，

所以，又因?yàn)?/span>所以

在圖2中，且，

則平面，又因?yàn)?/span>，所以平面

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面,且平面

所以平面平面，又因?yàn)槠矫?/span>平面

在正中過(guò)作，垂足為，則為中點(diǎn)，

且平面，分別以，梯形中位線，

所在直線為軸，軸，軸建立如圖坐標(biāo)系，

則．

．

設(shè)平面的法向量為，

則，

令，則，

平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)直線與平面所成角為，

則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．