Question

13．已知集合A={x|$\frac{x-3}{2-x}$≥0}，B={x|1+2ax＜a+x，a∈R⁺}，如果A?B，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)集合A=（2，3]，再化簡(jiǎn)集合B，從而分類討論即可．

解答 解：A={x|$\frac{x-3}{2-x}$≥0}=（2，3]，
∵1+2ax＜a+x，
∴（2a-1）x＜a-1，
①當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，x＞$\frac{1-a}{1-2a}$，
∵A?B，
∴$\frac{1-a}{1-2a}$≤2，
∴0＜a≤$\frac{1}{3}$，
②當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，B=∅，A?B不成立；
③當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，x＜$\frac{1-a}{1-2a}$，
∵A?B，
∴$\frac{1-a}{1-2a}$＞3，
無解，
綜上所述，a的取值范圍為（0，$\frac{1}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的化簡(jiǎn)與集合的運(yùn)算，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．