Question

1．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足下列關(guān)系：f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．（填奇、偶）

Answer 1

分析 將題中兩個(gè)等式相結(jié)合，運(yùn)用變量代換的方法可證出f（40+x）=f（x），從而得出f（x）是周期T=40的周期函數(shù)，再根據(jù)f（-x）=f（40-x）結(jié)合f（20-x）=-f（20+x），可證出f（-x）=f（x），從而得到本題的答案．

解答 解：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．
∴f（20+x）=-f（40+x），結(jié)合f（20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）
∴f（x）是以T=40為周期的周期函數(shù)；
又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．
∴f（x）是奇函數(shù)．
故答案為：奇．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，著重考查了函數(shù)的定義和抽象函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)條件推出函數(shù)的周期是解決本題的關(guān)鍵．．