【題目】如圖所示,在三棱臺中,均為等邊三角形,四邊形為直角梯形,平面,分別為的中點.

(1)求證:平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析:(1)取的中點,連接,要證平面,可轉(zhuǎn)證平面平面,即證平面,平面

(2)先證明兩兩互相垂直,以軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面與平面的法向量,利用公式即可求出二面角的余弦值.

詳解:(1)取的中點,連接

,

因為平面平面,

所以平面

因為三棱臺中,,

所以,

因為平面,平面,

所以平面,

因為,所以平面平面, 因為平面,所以平面.

(2)取的中點,連接,

因為平面平面,

所以

因為,

所以平面,所以,

因為為直角梯形,

,

所以為正方形,所以,

所以兩兩互相垂直,分別以軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因為,

所以,

,得,

所以,

設(shè)平面的一個法向量為,

,得,

設(shè)平面的一個法向量為,

,得,

所以

由圖觀察可知,平面與平面所成二面角為鈍角,所以其余弦值為.

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