【題目】已知函數(shù)的導函數(shù)為,且,其中為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求函數(shù)的最大值;

(2)證明 :.

【答案】(1)0(2)見解析

【解析】分析:(1)由題意可得,明確函數(shù)的單調性,從而得到函數(shù)的最大值;

(2)由(1)得,即,要證,

,故只需證,故只需證

即證成立.

詳解:(1)因為,所以 ,

解得,

所以

,得,令,

所以當時,.

(2)由(1)得的最大值為0,

所以,即

從而,

要證,

,

故只需證,

即證成立;

,

,則,

,得,

因為單調遞增,所以當時,,單調遞減,即單調遞減.

時,單調遞增, 即單調遞增,

因為,,

由零點存在定理可知,,使得

故當時,單調遞增;

時,單調遞減,

所以的最小值是.

,得,

,

因為,所以

故當時,,所以原不等式成立.

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;

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(II) 根據(jù)已知條件完成下面22列聯(lián)表,并判斷能否有85%的把握認為晉級成功與性別有關

(III) 將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機抽取3人進行約談,記這3人中晉級失敗的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望E(X).

晉級成功

晉級失敗

合計

16

50

合計

參考公式:,其中

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