Question

14．定義：對于集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，“a₁•a₂•a₃…a_n”稱為集合A的“元素積”；“a₁+a₂+a₃+…+a_n”稱為集合A的“元素和”．特別地，A={a₁}的元素積為a₁；A={a₁}的元素和為a₁．若A={1，-1，3，4}，記集合A的所有非空子集的元素積的和為M，集合A的所有非空子集的元素和的和為N．則M+N=55．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，列舉集合A的所有非空子集，依次求出每個(gè)子集的元素積與元素和，即可得M、N的值，將其相加即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，A={1，-1，3，4}，其非空子集有2⁴-1=15個(gè)，設(shè)P為A的一個(gè)非空子集，
當(dāng)P={1}時(shí)，其元素積為1，元素和為1；
當(dāng)P={-1}時(shí)，其元素積為-1，元素和為-1；
當(dāng)P={3}時(shí)，其元素積為3，元素和為3；
當(dāng)P={4}時(shí)，其元素積為4，元素和為4；
當(dāng)P={1，-1}時(shí)，其元素積為-1，元素和為0；
當(dāng)P={1，3}時(shí)，其元素積為3，元素和為4；
當(dāng)P={1，4}時(shí)，其元素積為4，元素和為5；
當(dāng)P={-1，3}時(shí)，其元素積為-3，元素和為2；
當(dāng)P={-1，4}時(shí)，其元素積為-4，元素和為3；
當(dāng)P={3，4}時(shí)，其元素積為12，元素和為7；
當(dāng)P={1，-1，3}時(shí)，其元素積為-3，元素和為3；
當(dāng)P={1，-1，4}時(shí)，其元素積為-4，元素和為4；
當(dāng)P={1，3，4}時(shí)，其元素積為12，元素和為8；
當(dāng)P={-1，3，4}時(shí)，其元素積為-12，元素和為6；
當(dāng)P={1，-1，3，4}時(shí)，其元素積為-12，元素和為7；
則集合A的所有非空子集的元素積的和為M，
M=1+（-1）+3+4+（-1）+3+4+（-3）+4+（-3）+（-4）+12+（-12）+（-12）+（-12）=-1；
集合A的所有非空子集的元素和的和為N，則N=1+（-1）+3+4+0+4+5+2+3+7+3+4+8+6+7=56，
則M+N=55；
故答案為：55．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，涉及集合的子集與真子集的概念，關(guān)鍵是理解集合的“元素積”與“元素積”的概念．