Question

12．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）$（A＞0，ω＞0，\;\;\;0＜φ＜\frac{π}{2}）$滿足：
①f（x）的最小正周期為π；
②當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）取得最大值；
③f（x）的圖象過點(diǎn)$（-\frac{π}{12}，\;5）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（0＜m＜π）個單位后，所得圖象關(guān)于y軸對稱，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期公式可求ω的值，由$x=\frac{π}{12}$時，取得最大值，以及A＞0可得$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}+2kπ$，結(jié)合范圍$0＜φ＜\frac{π}{2}$可求$φ=\frac{π}{3}$．由圖象過點(diǎn)$（-\frac{π}{12}，5）$解得A的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得向右平移m個單位后得$y=Asin（2x+\frac{π}{3}-2m）$，
由x=0時，$\frac{π}{3}-2m=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，結(jié)合范圍0＜m＜π，即可解得m的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由f（x）的最小正周期為π，得$ω=\frac{2π}{π}=2$，（2分）
由$x=\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）取得最大值，以及A＞0可得：$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z），即$φ=\frac{π}{3}+2kπ$，又$0＜φ＜\frac{π}{2}$，$φ=\frac{π}{3}$．           （4分）
所以$f（x）=Asin（2x+\frac{π}{3}）$過點(diǎn)$（-\frac{π}{12}，5）$得$Asin（-\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）=5$解得A=10，
所以$f（x）=10sin（2x+\frac{π}{3}）$．               （6分）
（Ⅱ）f（x）的圖象向右平移m（0＜m＜2π）個單位后得$y=Asin（2x+\frac{π}{3}-2m）$，（8分）
因?yàn)閳D象關(guān)于y軸對稱，所以當(dāng)x=0時，有$\frac{π}{3}-2m=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
解得$m=-\frac{π}{12}-\frac{kπ}{2}（k∈Z）$．
又0＜m＜π，所以$m=\frac{5π}{12}$或$m=\frac{11π}{12}$．                       （12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題．