Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁+a₃=4，a₂+a₄=2，則log₂（$\frac{{S}_{2016}}{{a}_{2016}}$+1）=（　�。�

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2²⁰¹⁵
• D． 2²⁰¹⁶

Answer 1

分析 由等比數(shù)列通項公式列出方程組求出首項和公比，利用等比數(shù)列前n項和公式、通項公式及對數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁+a₃=4，a₂+a₄=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=2}\end{array}\right.$，解得a₁=$\frac{16}{5}$，q=$\frac{1}{2}$，
∴S₂₀₁₆=$\frac{\frac{16}{5}（1-\frac{1}{{2}^{2016}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{32}{5}（1-\frac{1}{{2}^{2016}}）$，${a}_{2016}=\frac{16}{5}×（\frac{1}{2}）^{2015}$，
∴l(xiāng)og₂（$\frac{{S}_{2016}}{{a}_{2016}}$+1）=log₂（$\frac{\frac{32}{5}（1-\frac{1}{{2}^{2016}}）}{\frac{16}{5}×（\frac{1}{2}）^{2015}}+1$）=$lo{g}_{2}{2}^{2016}$=2016．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列前n項和公式、通項公式及對數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．