Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，證明：|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，1≤f（x）≤10恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把2a+b=4代入函數(shù)解析式，利用f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為進(jìn)行分類(lèi)，求出f（x）在[0，4]上的最值，進(jìn)一步求得|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值．由最大值的最小值為12證得答案；
（Ⅱ）f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{a}{2}$，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間[0，b]的關(guān)系分情況討論f（x）的單調(diào)性，求出最值，根據(jù)1≤f（x）≤10列出不等式組，化簡(jiǎn)得出b的取值范圍，從而得到實(shí)數(shù)b的最大值．

解答 （Ⅰ）證明：∵2a+b=4，
∴f（x）=x²+ax+b=x²+ax+4-2a=$（x+\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4$，
當(dāng)$-\frac{a}{2}≤0$，即a≥0時(shí)，f（x）在[0，4]上為增函數(shù)，f（x）∈[-2a+4，2a+20]，
|f（x）|的最大值為M（a）=2a+20；
當(dāng)$-\frac{a}{2}≥4$，即a≤-8時(shí)，f（x）在[0，4]上為減函數(shù)，f（x）∈[2a+20，-2a+4]，
此時(shí)-2a+4＞|2a+20|，|f（x）|的最大值為M（a）=-2a+4；
當(dāng)0$＜-\frac{a}{2}≤2$，即-4≤a＜0時(shí)，f（x）在[0，4]上的最小值為$f（-\frac{a}{2}）=-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4$，
f（x）在[0，4]上的最大值為f（4）=2a+20，
∵2a+20≥12，4＜$-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4≤8$，
∴|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值M（a）=2a+20；
當(dāng)$2＜-\frac{a}{2}＜4$，即-8＜a＜-4時(shí)，f（x）在[0，4]上的最小值為$f（-\frac{a}{2}）=-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4$，
f（x）在[0，4]上的最大值為f（0）=-2a+4，
∵-2a+4＞12，4＜$-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4≤8$，
∴|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值M（a）=-2a+4．
∴M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-2a+4，a＜-4}\\{2a+20，a≥-4}\end{array}\right.$，則M（a）≥12；
（Ⅱ）f（x）=x²+ax+b的對(duì)稱(chēng)軸為x=$-\frac{a}{2}$．
①若a≥0，則$-\frac{a}{2}$≤0，∴f（x）在[0，b）上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b≥1}\\{f（b）=^{2}+ab+b≤10}\end{array}\right.$．
由b²+ab+b≤10，得$\frac{10}-b-1$≥a≥0，
解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{b≥1}\\{10-b-^{2}≥0}\end{array}\right.$，得1$≤b≤\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$．
②若0＜$-\frac{a}{2}$＜$\frac{2}$，即-b＜a＜0時(shí)，f（x）在[0，$-\frac{a}{2}$]上單調(diào)遞減，在（-$\frac{a}{2}$，b]單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{a}{2}）=b-\frac{{a}^{2}}{4}≥1}\\{f（b）=^{2}+ab+b≤10}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≥\frac{{a}^{2}}{4}+1}\\{\frac{10}-b-1≥a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≥1}\\{\frac{10}＞1}\end{array}\right.$，得1＜b＜10．
③若0＜$\frac{2}≤-\frac{a}{2}$＜b，即-2b＜a＜-b＜0時(shí)，f（x）在[0，$-\frac{a}{2}$]單調(diào)遞減，在（$-\frac{a}{2}$，b]單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{a}{2}）=b-\frac{{a}^{2}}{4}≥1}\\{f（0）=b≤10}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞1}\\{b≤10}\end{array}\right.$，則1＜b≤10．
④若$-\frac{a}{2}$≥b，即a≤-2b時(shí)，f（x）在[0，b）上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b≤10}\\{f（b）=^{2}+ab+b≥1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≤10}\\{a≥\frac{1}-b-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≤10}\\{\frac{1}-b-1≤-2b}\end{array}\right.$，則b∈∅．
綜上，b的取值范圍是[1，10]，b的最大值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，體現(xiàn)了分類(lèi)類(lèi)討論的思想方法，難度較大．