Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$+θ）．
（I）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}$=0；曲線C的極坐標(biāo)方程l轉(zhuǎn)化為ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）曲線C是以C（1，-1）為圓心，以r=$\sqrt{2}$為半徑的圓，求出圓心C（1，-1）到直線l的距離d，由|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-dhipi9z^{2}}$，能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}$=0．
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$+θ）．
即$ρ=2\sqrt{2}（cos\frac{π}{4}cosθ-sin\frac{π}{4}sinθ）$=2cosθ-2sinθ，
即ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x-2y，即（x-1）²+（y+1）²=2．
（Ⅱ）曲線C是以C（1，-1）為圓心，以r=$\sqrt{2}$為半徑的圓，
圓心C（1，-1）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}+1-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-vsdhv31^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．