已知函數(shù)f(x)=x2-1與函數(shù)g(x)=alnx(a≠0).
(1)若f(x),g(x)的圖象在點(diǎn)(1,0)處有公共的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)F(x)=f(x)-2g(x),求函數(shù)F(x)的極值.
解 (1)因?yàn)?i>f(1)=0,g(1)=0.
所以點(diǎn)(1,0)同時(shí)在函數(shù)f(x),g(x)的圖象上,
因?yàn)?i>f(x)=x2-1,g(x)=alnx,
所以f′(x)=2x,g′(x)=.
由已知,得f′(1)=g′(1),所以2=,即a=2.
(2)因?yàn)?i>F(x)=f(x)-2g(x)=x2-1-2alnx(x>0).所以F′(x)=2x-=,
當(dāng)a<0時(shí),
因?yàn)?i>x>0,且x2-a>0,所以F′(x)>0對(duì)x>0恒成立.
所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,F(x)無極值;
當(dāng)a>0時(shí),
令F′(x)=0,解得x1=,x2=-(舍去).
所以當(dāng)x>0時(shí),F′(x),F(x)的變化情況如下表:
x | (0,) |
| (,+∞) |
F′(x) | - | 0 | + |
F(x) | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)函數(shù)f(x)=x+(x∈(-∞,0)∪(0,+∞))的圖象為C1,C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)的對(duì)稱的圖象為C2,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).
(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式,并確定其定義域;
(2)若直線y=b與C2只有一個(gè)交點(diǎn),求b的值,并求出交點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)(t,f(t))處切線的斜率為k,則函數(shù)k=g(t)的部分圖象為( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)內(nèi)有定義,對(duì)于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)fK(x)=取函數(shù)f(x)=,恒有fK(x)=f(x),則( )
A.K的最大值為 B.K的最小值為
C.K的最大值為2 D.K的最小值為2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)討論當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值;
(2)求證:在(1)的條件下,f(x)>g(x)+;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)當(dāng)x=θ時(shí),函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cosθ=________.
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