已知函數(shù)f(x)=x2-1與函數(shù)g(x)=alnx(a≠0).

(1)若f(x),g(x)的圖象在點(diǎn)(1,0)處有公共的切線,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)設(shè)F(x)=f(x)-2g(x),求函數(shù)F(x)的極值.


解 (1)因?yàn)?i>f(1)=0,g(1)=0.

所以點(diǎn)(1,0)同時(shí)在函數(shù)f(x),g(x)的圖象上,

因?yàn)?i>f(x)=x2-1,g(x)=alnx,

所以f′(x)=2x,g′(x)=.

由已知,得f′(1)=g′(1),所以2=,即a=2.

(2)因?yàn)?i>F(x)=f(x)-2g(x)=x2-1-2alnx(x>0).所以F′(x)=2x,

當(dāng)a<0時(shí),

因?yàn)?i>x>0,且x2a>0,所以F′(x)>0對(duì)x>0恒成立.

所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,F(x)無極值;

當(dāng)a>0時(shí),

F′(x)=0,解得x1,x2=-(舍去).

所以當(dāng)x>0時(shí),F′(x),F(x)的變化情況如下表:

x

(0,)

(,+∞)

F′(x)

0

F(x)

遞減

極小值

遞增

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


設(shè)函數(shù)f(x)=x(x∈(-∞,0)∪(0,+∞))的圖象為C1,C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)的對(duì)稱的圖象為C2C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).

(1)求函數(shù)yg(x)的解析式,并確定其定義域;

(2)若直線ybC2只有一個(gè)交點(diǎn),求b的值,并求出交點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)(t,f(t))處切線的斜率為k,則函數(shù)kg(t)的部分圖象為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


已知函數(shù)f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不單調(diào),則t的取值范圍是________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


設(shè)函數(shù)yf(x)在(0,+∞)內(nèi)有定義,對(duì)于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)fK(x)=取函數(shù)f(x)=,恒有fK(x)=f(x),則(  )

A.K的最大值為                       B.K的最小值為

C.K的最大值為2                        D.K的最小值為2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然常數(shù),a∈R.

(1)討論當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值;

(2)求證:在(1)的條件下,f(x)>g(x)+;

(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


已知函數(shù)yx3-3xc的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則c=________.

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曲線y=+2x+2e2x,直線x=1,x=e和x軸所圍成的區(qū)域的面積是________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


設(shè)當(dāng)xθ時(shí),函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cosθ=________.

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