Question

9．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum _{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum _{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum _{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum _{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{x}$_i，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum _{i=1}^{8}w{\;}_{i}$
（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x．根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：
（i）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？
（ii）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁ v₁），（u₂ v₂）…..（u_n v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{1}-\overline{u}）（{v}_{1}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{1}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖，即可判斷出，
（Ⅱ）先建立中間量w=$\sqrt{x}$，建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問(wèn)題得以解決；
（Ⅲ）（i）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，代入到回歸方程，計(jì)算即可，
（ii）求出預(yù)報(bào)值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于$\widehatalkpfpu$=$\frac{108.8}{1.6}$=68，
$\widehat{c}$=$\overline{y}$-$\widehatoji4hf0$$\overline{w}$=563-68×6.8=100.6，
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為$\widehat{y}$=100.6+68w，
因此y關(guān)于x的回歸方程為$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值$\widehat{z}$=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果可知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值$\widehat{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8時(shí)，即當(dāng)x=46.24時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線性回歸方程和散點(diǎn)圖的問(wèn)題，準(zhǔn)確的計(jì)算是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．