Question

14．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)（c，0），（0，b）的直線的距離為$\frac{1}{2}$c．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）如圖，AB是圓M：（x+2）²+（y-1）²=$\frac{5}{2}$的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出經(jīng)過點(diǎn)（0，b）和（c，0）的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x²+4y²=4b²，①設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合圓的直徑和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得b²=3，即可得到橢圓方程．

解答 解：（Ⅰ）經(jīng)過點(diǎn)（0，b）和（c，0）的直線方程為bx+cy-bc=0，
則原點(diǎn)到直線的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$c，即為a=2b，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x²+4y²=4b²，①
由題意可得圓心M（-2，1）是線段AB的中點(diǎn)，則|AB|=$\sqrt{10}$，
易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k（x+2）+1，代入①可得
（1+4k²）x²+8k（1+2k）x+4（1+2k）²-4b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{-8k（1+2k）}{1+4{k}^{2}}$．x₁x₂=$\frac{4（1+2k）^{2}-4^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
由M為AB的中點(diǎn)，可得x₁+x₂=-4，得$\frac{-8k（1+2k）}{1+4{k}^{2}}$=-4，解得k=$\frac{1}{2}$，
從而x₁x₂=8-2b²，于是|AB|=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$•|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{10（^{2}-2）}$=$\sqrt{10}$，解得b²=3，
則有橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．