Question

2．已知無窮等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a（n∈N^*），且a是常數(shù)，則此無窮等比數(shù)列的各項和為-1．（用數(shù)值作答）

Answer 1

分析 利用遞推公式可得：a₁=S₁=$\frac{1}{3}$+a，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$-\frac{2}{{3}^{n}}$．n=1時上式也成立，解得a．此無窮等比數(shù)列的各項和=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a（n∈N^*），且a是常數(shù)，
∴a₁=S₁=$\frac{1}{3}$+a，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a-$（\frac{1}{{3}^{n-1}}+a）$=$-\frac{2}{{3}^{n}}$．
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴n=1時上式也成立，∴$\frac{1}{3}+a$=-$\frac{2}{3}$，解得a=-1．
∴a₁=-$\frac{2}{3}$，公比q=$\frac{-\frac{2}{{3}^{2}}}{-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴此無窮等比數(shù)列的各項和=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查了無窮等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．