Question

4．設(shè)函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$（a，b∈R，a≠0），x=1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
（1）若x=1為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間（用a表示）；
（2）若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到b=1+a，代入f（x）的表達(dá)式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，從而確定a的范圍．

解答 解：由題意可得：定義域?yàn)閤∈（0，+∞），
∵$f'（x）=\frac{{{x^2}-bx+a}}{x}$且x=1為極值點(diǎn)，
∴f'（1）=1-b+a=0⇒b=1+a，
故$f（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-（1+a）x$且 $f'（x）=\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（a≠1），
（1）∵x=1為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，∴a＞1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增；
x∈（1，a）時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減；
x∈（a，+∞）時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增．
（2）①若a＜0時(shí)，f（x）在x∈（0，1）時(shí)單調(diào)遞減；
在x∈（1，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，
∵f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2}-（1+a）=0⇒a=-\frac{1}{2}$；
②若0＜a＜1時(shí)，f（x）在x∈（0，a）單調(diào)遞增，
在x∈（a，1）單調(diào)遞減；在x∈（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴x=a為極大值點(diǎn)$f（a）=a（lna-1-\frac{a}{2}）＜0$，
x=1為極小值點(diǎn)$f（1）=-（a+\frac{1}{2}）＜0$，
又∵f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，
∴f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)；
③若a＞1時(shí)，f（x）在x∈（0，1）單調(diào)遞增，
在x∈（1，a）單調(diào)遞減，
在x∈（a，+∞）單調(diào)遞增，
∴x=1為極大值點(diǎn)$f（1）=-（a+\frac{1}{2}）＜0$，
x=a為極小值點(diǎn)$f（a）=a（lna-1-\frac{a}{2}）$；
設(shè)$g（x）=lnx-1-\frac{x}{2}$則$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$，
故g（x）_max=g（2）=ln2-2＜0，
∴$f（a）=a（lna-1-\frac{a}{2}）＜0$，
又∵f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，
∴f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)；
a=1時(shí)，不合題意，
綜上所述：若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)$a∈（0，1）∪（1，+∞）∪\left\{{\frac{1}{2}}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)問題，涉及的主要思路是對(duì)參數(shù)范圍的分類討論，其中$f（a）=a（lna-1-\frac{a}{2}）$的正負(fù)問題用到構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)分析．