Question

4．設函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$（a，b∈R，a≠0），x=1為函數(shù)f（x）的極值點．
（1）若x=1為函數(shù)f（x）的極大值點，求f（x）的單調區(qū)間（用a表示）；
（2）若函數(shù)f（x）恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到b=1+a，代入f（x）的表達式，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的極值，從而確定a的范圍．

解答 解：由題意可得：定義域為x∈（0，+∞），
∵$f'（x）=\frac{{{x^2}-bx+a}}{x}$且x=1為極值點，
∴f'（1）=1-b+a=0⇒b=1+a，
故$f（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-（1+a）x$且 $f'（x）=\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（a≠1），
（1）∵x=1為函數(shù)f（x）的極大值點，∴a＞1，
當x∈（0，1）時，f（x）的單調遞增；
x∈（1，a）時，f（x）的單調遞減；
x∈（a，+∞）時，f（x）的單調遞增．
（2）①若a＜0時，f（x）在x∈（0，1）時單調遞減；
在x∈（1，+∞）時單調遞增，
∵f（x）恰有一個零點，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2}-（1+a）=0⇒a=-\frac{1}{2}$；
②若0＜a＜1時，f（x）在x∈（0，a）單調遞增，
在x∈（a，1）單調遞減；在x∈（1，+∞）單調遞增，
∴x=a為極大值點$f（a）=a（lna-1-\frac{a}{2}）＜0$，
x=1為極小值點$f（1）=-（a+\frac{1}{2}）＜0$，
又∵f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，
∴f（x）恰有一個零點；
③若a＞1時，f（x）在x∈（0，1）單調遞增，
在x∈（1，a）單調遞減，
在x∈（a，+∞）單調遞增，
∴x=1為極大值點$f（1）=-（a+\frac{1}{2}）＜0$，
x=a為極小值點$f（a）=a（lna-1-\frac{a}{2}）$；
設$g（x）=lnx-1-\frac{x}{2}$則$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$，
故g（x）_max=g（2）=ln2-2＜0，
∴$f（a）=a（lna-1-\frac{a}{2}）＜0$，
又∵f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，
∴f（x）恰有一個零點；
a=1時，不合題意，
綜上所述：若函數(shù)f（x）恰有一個零點，
則實數(shù)$a∈（0，1）∪（1，+∞）∪\left\{{\frac{1}{2}}\right\}$．

點評 本題主要考查導數(shù)和函數(shù)單調性、零點問題，涉及的主要思路是對參數(shù)范圍的分類討論，其中$f（a）=a（lna-1-\frac{a}{2}）$的正負問題用到構造函數(shù)再求導分析．