Question

9．如圖，某炮兵陣地位于A點(diǎn)，兩觀察所分別位于C，D兩點(diǎn)．已知△ACD為正三角形，且DC=$\sqrt{3}$ km，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點(diǎn)時(shí)，測(cè)得∠BCD=75°，∠CDB=45°，求炮兵陣地與目標(biāo)的距離．

Answer 1

分析 由三角形內(nèi)角和定理得出∠CBD=60°，在△BCD中，由正弦定理得出BD，再在△ABD中利用余弦定理解出AB即可．

解答 解：∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°，
在△BCD中，由正弦定理，得：
BD=$\frac{CDsin75°}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，
由余弦定理，得AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos105°
=3+（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$）²-2×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$=5+2$\sqrt{3}$．
∴AB=$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$．
答：炮兵陣地與目標(biāo)的距離為$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$km

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．