Question

19．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足$\frac{cosA}{cosB}=-\frac{a}{b+2c}$．
（1）求角A的大小；
（2）求sinBsinC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得$\frac{cosA}{cosB}=-\frac{sinA}{sinB+2sinC}$，解得cosA=-$\frac{1}{2}$，根據(jù)A的范圍即可解得A的值．
（2）由（1）及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得sinBsinC=$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，由范圍0$＜B＜\frac{π}{3}$，可得$\frac{π}{6}＜$2B+$\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得sinBsinC的最大值．

解答 解：（1）由$\frac{cosA}{cosB}=-\frac{a}{b+2c}$．得$\frac{cosA}{cosB}=-\frac{sinA}{sinB+2sinC}$，
∴2cosAsinC=-sin（A+B）=-sinC
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴由A為三角形內(nèi)角，可得：A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵sinBsinC=sinBsin（$\frac{π}{3}-B$）=$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，
∵0$＜B＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}＜$2B+$\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$，
∴當(dāng)sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1即B=$\frac{π}{6}$時(shí)，sinBsinC取得最大值$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．