Question

17．在直角坐標系中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：x+$\sqrt{3}$y=0（x≥0），過點P（1，0）作直線分別交射線OA，OB于點A，B．
（1）當AB中點為P時，求直線AB的方程；
（2）當AB中點在直線x-2y=0上時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A在射線OA上，設A（a，a），根據(jù)P為線段AB中點，利用中點坐標公式變形出B坐標，代入射線OB解析式求出a的值，確定出A與B坐標，即可求出直線AB解析式；
（2）求出AB的中點坐標為（$\frac{\frac{k}{k-1}+\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$，$\frac{\frac{k}{k-1}-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$），由AB的中點在直線x-2y=0上，得$\frac{\frac{k}{k-1}+\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$-2×$\frac{\frac{k}{k-1}-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$=0，由此能求出直線AB的方程．

解答 解：（1）設A（a，a），
∵A、B的中點為P，
∴B（2-a，-a），
將B代入射線OB解析式得：$\sqrt{3}$×（2-a）+3×（-a）=0，
解得：a=$\sqrt{3}$-1，
∴A（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$-1），B（3-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$），
則直線AB為y=（-1-$\sqrt{3}$）（x-1）；
（2）設直線AB的方程為：y=k（x-1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{k}{k-1}}\\{{y}_{1}=\frac{k}{k-1}}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}\\{{y}_{2}=-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}\end{array}\right.$，
∴AB的中點坐標為（$\frac{\frac{k}{k-1}+\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$，$\frac{\frac{k}{k-1}-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$），
∵AB的中點在直線x-2y=0上，
∴$\frac{\frac{k}{k-1}+\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$-2×$\frac{\frac{k}{k-1}-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$=0，
解得k=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴直線AB的方程為：3x-（3-$\sqrt{3}$）y-3=0．

點評 此題考查了點到直線的距離公式，線段中點坐標公式，以及兩直線的交點坐標，熟練掌握公式是解本題的關鍵．