Question

已知圓心為C（-2，6）的圓經(jīng)過點M（0，6-2

3

）．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l過點P（0，5）且被圓C截得的線段長為4

3

，求直線l的方程；
（Ⅲ）是否存在斜率是1的直線l′，使得以l′被圓C所截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，試求出直線l′的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）先求出圓C的半徑為|CM|的值，可得圓C的標準方程．
（Ⅱ）如圖所示，設直線l與圓C交于A、B 兩點，且D是AB的中點，在直角三角形ACD中，可得CD=2，即點C到直線l的距離為2．再分當所求直線l的斜率存在和直線l的斜率不存在兩種情況，分別求得直線的方程．
（Ⅲ）假設存在直線l′滿足題設條件，設l′的方程為y=x+m，可得 N（

4-m

2

，

m+4

2

），CN=

|m-8|

2

．
再由 CE²=CN²+EN²，化簡得 m²-8m+20=0，根據(jù)方程m²-8m+20=0沒有實數(shù)解，可得不存在滿足題設條件的直線l′．

解答： 解：（Ⅰ）圓C的半徑為|CM|=4，∴圓C的標準方程為 （x+2）²+（y-6）²=16．
（Ⅱ）如圖所示，設直線l與圓C交于A、B 兩點，且D是AB的中點，
則AB=4

3

，AD=2

3

且 CD⊥AB，
∵圓C的半徑為4，即AC=4，
∴在直角三角形ACD中，可得 CD=

AC2-AD2

=2，即點C到直線l的距離為2．
（i）當所求直線l的斜率存在時，設所求直線的方程為y=kx+5，即kx-y+5=0，
由點到直線的距離公式得：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，解得 k=

3

4

．
∴此時直線l的方程為3x-4y+20=0．
（ii）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0．
將x=0代入圓C的方程化簡可得（y-6）²=12，y=6±2

3

，∴弦長為4

3

，滿足條件．
∴所求直線的方程為 3x-4y+20=0，或 x=0．
（Ⅲ）假設存在直線l′滿足題設條件，設l′的方程為y=x+m，
則EF的中點N是兩直線 y=x+m與y+6=-（x+2）的交點，即 N（

4-m

2

，

m+4

2

），
∴CN=

( 4-m 2 +2)2+( m+4 2 -6)2

=

|m-8|

2

．
∵以EF為直徑的圓經(jīng)過原點，∴OE⊥OF，∴EN=ON=

( 4-m 2 )2+( m+4 2 )2

．
又∵CN⊥EF，CE²=CN²+EN²，
∴(

4-m

2

)2+(

m+4

2

)2+(

|m-8|

2

)2=16，化簡得 m²-8m+20=0，
∵方程m²-8m+20=0沒有實數(shù)解，
∴不存在滿足題設條件的直線l′．

點評：本題主要考查求圓的標準方程的方法，直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．