Question

13．遞增等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁+a₄=9，a₂a₃=8，則通項(xiàng)a_n=2^n-1．設(shè)b_n=2log₂a_n+3，則數(shù)列{$\frac{1}{{_{n}b}_{n+2}}$}前n項(xiàng)和S_n=$\frac{2}{15}$-$\frac{n+2}{（2n+3）（2n+5）}$．

Answer 1

分析 由題意知a₁+a₄=9，a₁a₄=a₂a₃=8，從而求得a_n=2^n-1，化簡(jiǎn)b_n=2n+1，從而利用裂項(xiàng)求和法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：在遞增等比數(shù)列{a_n}中，
a₁+a₄=9，a₁a₄=a₂a₃=8，
故a₁=1，a₄=8；q=2，
故a_n=2^n-1，
b_n=2log₂a_n+3
=2（n-1）+3=2n+1，
故$\frac{1}{{_{n}b}_{n+2}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+5）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+5}$），
故S_n=$\frac{1}{4}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{11}$）+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$）+…+（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n+1}$）+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$）+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+5}$）]
=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$-（$\frac{1}{2n+3}$+$\frac{1}{2n+5}$）]
=$\frac{2}{15}$-$\frac{n+2}{（2n+3）（2n+5）}$；
故答案為：2^n-1，$\frac{2}{15}$-$\frac{n+2}{（2n+3）（2n+5）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．