Question

2．已知四點(diǎn)A（x，0），B（2x，1），C（2，x），D（6，2x）．
（1）求實(shí)數(shù)x，使向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$共線；
（2）當(dāng)向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$共線時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)是否存在同一直線上？

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=（x，1），$\overrightarrow{CD}$=（4，x），利用向量共線定理解出x．
（2）取x=2時(shí)，A（2，0），B（4，1），C（2，2），D（6，4），直線AC⊥x軸，而點(diǎn)B，D不在直線AC上，即可判斷出四點(diǎn)共線．取x=-2時(shí)，A（-2，0），B（-4，1），C（2，-2），D（6，-4），直線AB的方程為：x+2y+2=0．驗(yàn)證點(diǎn)B，D是否滿足直線AB的方程，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（x，1），$\overrightarrow{CD}$=（4，x），
∵$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$共線，∴x²-4=0，解得x=±2．
∴當(dāng)x=±2時(shí)，向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$共線．
（2）取x=2時(shí)，A（2，0），B（4，1），C（2，2），D（6，4），直線AC⊥x軸，而點(diǎn)B，D不在直線AC上，因此四點(diǎn)不共線．
取x=-2時(shí)，A（-2，0），B（-4，1），C（2，-2），D（6，-4），直線AB的方程為y-0=$\frac{1-0}{-4-（-2）}$（x+2），化為：x+2y+2=0．
點(diǎn)B，D滿足直線AB的方程，因此四點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、向量共線與直線平行的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．