13．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一個焦點F作雙曲線的一條漸近線的垂線，若垂線的延長線與y軸的交點坐標(biāo)為$（0\;，\;\;\frac{c}{2}）$，則此雙曲線的離心率是（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．2D．$\sqrt{5}$

分析 設(shè)雙曲線的一個焦點F（c，0），一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得b=2a，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的一個焦點F（c，0），一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
∵垂線的延長線與y軸的交點坐標(biāo)為A$（0\;，\;\;\frac{c}{2}）$，
∴由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得$\frac{a}$•$\frac{\frac{c}{2}-0}{-c}$=-1，
即b=2a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的焦點和漸近線方程、兩直線垂直的條件以及離心率公式，考查運算能力．

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A．$[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$B．$[{\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$C．$[{\sqrt{2}，2+\sqrt{3}}]$D．$[{\sqrt{3}，\sqrt{3}+1}]$

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A．2B．2$\sqrt{3}$C．$\frac{\sqrt{3}}{2}$D．$\sqrt{3}$

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