Question

4．函數(shù)f（x）=lg（a^x-b^x），常數(shù)a＞1＞b＞0，則不等式f（x）＞0的解集是（1，+∞）的充要條件是（　�。�

• A． a＞b+1
• B． a=b+1
• C． a＜b+1
• D． a≥b+1

Answer 1

分析 由a^x-b^x＞0，可得函數(shù)的定義域為（0，+∞），然后由定義法證函數(shù)為增函數(shù)，進而可得f（x）＞f（1），只需f（1）＞0，解之可得．

解答 解：：由a^x-b^x＞0，得（$\frac{a}$）^x＞1=（$\frac{a}$）⁰，由于（$\frac{a}$）＞1，所以x＞0，
故f（x）的定義域為（0，+∞），任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）=lg（a^x₁-b^x₁），f（x₂）=lg（a^x₂-b^x₂）
而f（x₁）-f（x₂）=（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）=（a^x₁-a^x₂）+（b^x₂-b^x₁）
∵a＞1＞b＞0，∴y=a^x在R上為增函數(shù)，y=b^x在R上為減函數(shù)，
∴a^x₁-a^x₂＜0，b^x₂-b^x₁＜0，∴（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）＜0，即（a^x₁-b^x₁）＜（a^x₂-b^x₂）
又∵y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
一方面，當a＞b+1時，由f（x）＞0可推得，f（x）的最小值大于0，
而當x∈（1，+∞），f（x）＞0，故只需x∈（1，+∞）；
另一方面，當a＞b+1時，由f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
可知當x∈[1，+∞）時，有f（x）＞f（1）＞0，即f（x）取正值，
故當a＞b+1時，f（x）取正值的充要條件是x∈（1，+∞），
故選：A．

點評 本題考查充要條件的判斷，涉及函數(shù)定義域和單調性，屬中檔題．