Question

16．設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，已知f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（1，3）上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{23}{9}$）
• B． [-3，$\frac{23}{9}$]
• C． [$\frac{23}{9}$，+∞）
• D． [-3，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)在區(qū)間（1，3）上為“凸函數(shù)”，所以f″（x）＜0，即對(duì)函數(shù)y=f（x）二次求導(dǎo)，分離參數(shù)，求參數(shù)的最值即可．

解答 解：由已知條件得f′（x）=$\frac{1}{4}$x⁴-$\frac{1}{3}$mx³-4x，則f″（x）=x³-mx²-3，
若f（x）為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″（x）=x³-mx²-4＜0在區(qū)間（1，3）上恒成立，
則m＞x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∵x-$\frac{4}{{x}^{2}}$在（1，3）上遞增，
∴x-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜3-$\frac{4}{9}$=$\frac{23}{9}$，
∴m≥$\frac{23}{9}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關(guān)鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識(shí)遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題