Question

20．函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+ax-2}{{x}^{2}-x+1}$的值域[-2，2]，則a的值為2．

Answer 1

分析 可將原函數(shù)變形為關(guān)于x的方程（1-y）x²+（a+y）x-2-y=0，該方程有解，從而有判別式△=（a+y）²+4（1-y）（2+y）≥0，根據(jù)原函數(shù)的值域?yàn)閇-2，2]便可得出-2，2為方程3y²+（4-2a）y-a²-8=0的兩實(shí)根，從而由韋達(dá)定理得出a的值．

解答 解：由$y=\frac{{x}^{2}+ax-2}{{x}^{2}-x+1}$得，yx²-yx+y=x²+ax-2；
整理成關(guān)于x方程的形式為：（1-y）x²+（a+y）x-2-y=0，方程有解；
又由題意知，y∈[-2，2]；
∴（1）若y=1，則（a+1）x-3=0，該方程有解，∴a≠-1；
（2）若y≠1，則△=（a+y）²+4（1-y）（2+y）≥0；
即3y²+（4-2a）y-a²-8≤0，該不等式的解為[-2，2]；
∴-2，2是方程3y²+（4-2a）y-a²-8=0的兩實(shí)根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a-4}{3}=-2+2}\\{\frac{-{a}^{2}-8}{3}=-2•2}\end{array}\right.$；
解得a=2；
∴a=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，以及形如函數(shù)$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的值域的求法，以及一元二次不等式的解和對(duì)應(yīng)一元二次方程實(shí)根的關(guān)系，韋達(dá)定理．