Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）若F為DE的中點，求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC，BD交于O，連OF，由已知得OF∥BE，由此能證明BE∥平面ACF．
（Ⅱ）過E作EH⊥AD于H，連接BH，由已知和得∠EBH為BE與平面ABCD的所成角的平面角，由此能求出線BE與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，BD交于O，連OF，
∵F為DE中點，O為BD中點，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．
（Ⅱ）解：過E作EH⊥AD于H，連接BH，
∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD、AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，
AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH為BE在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴∠EBH為BE與平面ABCD的所成角的平面角，
在RT△EHB，由勾股定理得底面ABCD的邊長AD=5．
又∵CD∥AB，
∴AB⊥平面DAE，
∴△ABE為直角三角形，
∴BE=

BA2+AE2

=

34

，且HE=

EA•ED

AD

=

12

5

，
在RT△EHB中，sin∠EBH=

HE

BE

=

12 5

34

=

6 34

85

．
直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為

6 34

85

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．