Question

設數列{a_n}的前n項的和S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

，n∈N^*．
（1）求首項a₁與通項a_n；
（2）設T_n=

2n

Sn

，n=N^*，證明：T₁+T₂+T₃+…+T_n＜

3

2

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

，n∈N^*．當n≥2時，S_n-1=

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

，a_n=S_n-S_n-1，化為an+2n=4(an-1+2n-1)，利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可得S_n=

4

3

（4ⁿ-2ⁿ）-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

=

4×4n-6×2n+2

3

．可得T_n=

2n

Sn

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)．利用“裂項求和”即可證明．

解答： （1）解：∵S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

，n∈N^*．
∴當n=1時，a₁=S₁=

4

3

a1-

4

3

+

2

3

，解得a₁=2．
當n≥2時，S_n-1=

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

，a_n=S_n-S_n-1=

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

-(

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

)，
化為an=4an-1+2n，
變形為an+2n=4(an-1+2n-1)，
∴數列{an+2n}是等比數列，首項為a₁+2=4，公比為4．
∴an=4n-2n．
因此：a₁=2，an=4n-2n．
（2）證明：由（1）可得S_n=

4

3

（4ⁿ-2ⁿ）-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

=

4×4n-6×2n+2

3

．
T_n=

2n

Sn

=

3×2n

4×4n-6×2n+2

=

3×2n

(2n+1-1)(2n+1-2)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)．
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＜

3

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]
=

3

2

(1-

1

2n+1-1

)＜

3

2

．
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＜

3

2

．

點評：本題考查了等比數列的定義及通項公式、“裂項求和”、遞推式的應用，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．