Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

mx2+nx，x∈R．
（1）若g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且g（x）滿足：對于任意x∈R都有g(-

1

2

+x)=g(-

1

2

-x)，且g（x）≥2x，求n的取值范圍．
（2）當(dāng)n=0，且m＜0時，求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）g（x）=x²+mx+n，x=-

1

2

是g（x）的對稱軸，從而m=1，由此能求出n的取值范圍．
（2）當(dāng)n=0，且m＜0時，f(x)=

1

3

x3+

1

2

mx2，則f'（x）=x²+mx=x（x+m），由此能求出f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值．

解答： 解：（1）g（x）=x²+mx+n，…（1分）
∵對于任意x∈R都有g(-

1

2

+x)=g(-

1

2

-x)，
∴x=-

1

2

是g（x）的對稱軸，即-

m

2

=-

1

2

，…（2分）
∴m=1…（3分）
∵對于任意x∈R都有g(shù)（x）≥2x，即對于任意x∈R都有x²-x+n≥0…（4分）
∴△=（-1）²-4n≤0…（5分）
∴n≥

1

4

…（6分）
（2）當(dāng)n=0，且m＜0時，f(x)=

1

3

x3+

1

2

mx2，x∈R．
則f'（x）=x²+mx=x（x+m），
令f′（x）=0，得x=0或x=-m．  …（7分）
①若-m≥1，即m≤-1，
當(dāng)x∈（-1，0）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，…（8分）
所以f（x）的最大值為f（0）=0；…（9分）
②若0＜-m＜1，即-1＜m＜0，
當(dāng)x∈（-1，0）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，-m）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-m，1）時，f'（x）＞0；f（x）為增函數(shù)．…（11分）
又f(0)=0，f(1)=

1

3

+

1

2

m而由

1

3

+

1

2

m＞0得m＞-

2

3

所以，當(dāng)-

2

3

＜m＜0時，f（x）的最大值為f(1)=

1

3

+

1

2

m；
當(dāng)m=-

2

3

時，f（x）的最大值為f（0）=f（1）=0；
當(dāng)-1＜m＜-

2

3

時，f（x）的最大值為f（0）=0．…（13分）
綜上，f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為：
f(x)max=

0，m≤- 2 3 1 3 + 1 2 m，- 2 3 ＜m＜0

．…（14分）

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．