Question

19．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，其前n項(xiàng)之積為T(mén)_n，并且滿(mǎn)足條件：a₁＞1，a₂₀₁₆a₂₀₁₇＞1，$\frac{{a}_{2016}-1}{{a}_{2017}-1}＜0$，給出下列結(jié)論：（1）0＜q＜1；（2）a₂₀₁₆a₂₀₁₈-1＞0；（3）T₂₀₁₆是數(shù)列{T_n}中的最大項(xiàng)；（4）使T_n＞1成立的最大自然數(shù)等于4031，其中正確的結(jié)論為（　�。�

• A． （2），（3）
• B． （1），（3）
• C． （1），（4）
• D． （2），（4）

Answer 1

分析 由a₁＞1，a₂₀₁₆a₂₀₁₇＞1，$\frac{{a}_{2016}-1}{{a}_{2017}-1}＜0$，可得：a₂₀₁₆＞1，a₂₀₁₇＜1．可得：（1）0＜q＜1；（2）a₂₀₁₆a₂₀₁₈=${a}_{2017}^{2}$＜1；（3）T₂₀₁₆是數(shù)列{T_n}中的最大項(xiàng)；（4）T₄₀₃₂=$（{a}_{1}{a}_{4032}）^{2016}$=$（{a}_{2016}{a}_{2017}）^{2016}$＞1，T₄₀₃₃=$（{{a}^{2}}_{2017}）^{2016}$×a₂₀₁₇＜1，即可得出使T_n＞1成立的最大自然數(shù)等于4032，即可得出．

解答 解：∵a₁＞1，a₂₀₁₆a₂₀₁₇＞1，$\frac{{a}_{2016}-1}{{a}_{2017}-1}＜0$，
∴a₂₀₁₆＞1，a₂₀₁₇＜1．
∴（1）0＜q＜1，故正確；
（2）a₂₀₁₆a₂₀₁₈=${a}_{2017}^{2}$＜1，故不正確；
（3）T₂₀₁₆是數(shù)列{T_n}中的最大項(xiàng)，故正確；
（4）T₄₀₃₂=a₁a₂•…•a₄₀₃₀a₄₀₃₁•a₄₀₃₂=$（{a}_{1}{a}_{4032}）^{2016}$=$（{a}_{2016}{a}_{2017}）^{2016}$＞1，
T₄₀₃₃=a₁a₂•…•a₄₀₃₀a₄₀₃₁•a₄₀₃₂•a₄₀₃₃=$（{{a}^{2}}_{2017}）^{2016}$×a₂₀₁₇＜1，
∴使T_n＞1成立的最大自然數(shù)等于4032，故不正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．