Question

16．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：3^a+3^b＜4．

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，可得1＜3^a＜3．由于a+b=1，可得3^a+3^b=3^a+3^1-a=${3}^{a}+\frac{3}{{3}^{a}}$，令3^a=t∈（1，3），
則f（t）=t+$\frac{3}{t}$，利用導數(shù)研究其單調性即可得出．

解答 證明：∵a＞0，b＞0，∴1＜3^a＜3．
∵a+b=1，
∴3^a+3^b=3^a+3^1-a=${3}^{a}+\frac{3}{{3}^{a}}$，
令3^a=t∈（1，3），
則f（t）=t+$\frac{3}{t}$，f′（t）=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-3}{{t}^{2}}$=$\frac{（t+\sqrt{3}）（t-\sqrt{3}）}{{t}^{2}}$，
當$1＜t＜\sqrt{3}$時，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調遞減；當$\sqrt{3}＜t＜3$時，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調遞增．
又f（1）=f（3）=4，
∴f（t）＜4．
即3^a+3^b＜4．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．