Question

19．已知在等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₂+a₄=20，設(shè)c_n=11-log₂a_2n．
（1）求數(shù)列{c_n}的通項；
（2）求數(shù)列{c_n}前n項和S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出q和a₁，代入等比數(shù)列的通項公式求出a_n，代入c_n=11-log₂a_2n化簡即可；
（2）由c_n的式子特點判斷出數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)求出S_n的最大值．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，
∵a₁+a₃=10，a₂+a₄=20，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=10}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=2，∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴c_n=11-log₂a_2n=11-2n；
（2）由（1）得，c_n=11-2n，
∴數(shù)列{c_n}是以9為首項、-2為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=$\frac{n（9+11-2n）}{2}$=-n²+10n=-（n-5）²+25，
則當(dāng)n=5時，S_n取最大值，且最大值是25．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和公式，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列前n項和的最值，屬于中檔題．