Question

11．求函數(shù)f（x）=2$\sqrt{1-2x}$+$\sqrt{4x+3}$的最大值．

Answer 1

分析 先將變形為：f（x）=2$\sqrt{1-2x}$+$\sqrt{4x+3}$=2$\sqrt{1-2x}$+$\sqrt{2}$•$\sqrt{2x+\frac{3}{2}}$，再由柯西不等式求得f（x）取得最大值，即可得解．

解答 解：由柯西不等式，f（x）=2$\sqrt{1-2x}$+$\sqrt{4x+3}$=2$\sqrt{1-2x}$+$\sqrt{2}$•$\sqrt{2x+\frac{3}{2}}$
≤$\sqrt{4+2}$•$\sqrt{1-2x+2x+\frac{3}{2}}$=$\sqrt{15}$
故當(dāng)且僅當(dāng)2$\sqrt{2x+\frac{3}{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-2x}$，即x=-$\frac{1}{3}$時，f（x）取得最大值為$\sqrt{15}$．

點評 本題主要考查了柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是對所給函數(shù)式靈活應(yīng)用柯西不等式．