Question

7．已知向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=2，且$\overrightarrow b$⊥（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$），則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由題意可得$2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=0$，求得$cosα=-\frac{1}{2}$，可得向量$\overrightarrow a與\overrightarrow b$的夾角的值．

解答 解：又$\overrightarrow b⊥（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，可得$\overrightarrow b•（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=0$，即$2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=0$．
∵|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=2，∴2×2×2×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+4=0，
解得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的取值范圍為[0，π]，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，
即向量$\overrightarrow a與\overrightarrow b$的夾角為 $\frac{2π}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎題．