【題目】在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．

（1）求證：平面平面PAD；

（2）求二面角F-AE-P的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明，然后可證明平面PAD，從而得證面面垂直；

（2）過點(diǎn)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求得二面角．

（1）證明：因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，所以．

又因?yàn)?/span>，，平面PAD，所以平面PAD．

又平面PCD，所以平面平面PAD．

（2）過點(diǎn)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，

所以，．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，．因?yàn)?/span>E為PD的中點(diǎn)，所以．

所以，，，所以，

所以．設(shè)平面AEF的法向量為，則

，令，則，．于是．

又因?yàn)槠矫?/span>PAD的一個(gè)法向量為，所以．

由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】三角形面積為，，，為三角形三邊長(zhǎng)，為三角形內(nèi)切圓半徑，利用類比推理，可以得出四面體的體積為（ ）

A.

B.

C. （為四面體的高）

D. （其中，，，分別為四面體四個(gè)面的面積，為四面體內(nèi)切球的半徑，設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個(gè)面的距離都是）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，過橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線和，分別交直線于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的面積的最小值；

（Ⅲ）設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，橢圓的右頂點(diǎn)為，求證：，，三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)的直線，分別交橢圓于，及，四點(diǎn)，且，探究：是否存在常數(shù)，使得.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是正整數(shù).在一個(gè)十進(jìn)制位數(shù)的各位數(shù)字中，若含有數(shù)字8，則在每個(gè)數(shù)字8的前一位數(shù)字就不能是數(shù)字3（即不能出現(xiàn)38字樣）.試求出所有這樣的位數(shù)的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“吸煙有害健康，吸煙會(huì)對(duì)身體造成傷害”，哈爾濱市于2012年5月31日規(guī)定室內(nèi)場(chǎng)所禁止吸煙．美國(guó)癌癥協(xié)會(huì)研究表明，開始吸煙年齡X分別為16歲、18歲、20歲和22歲者，其得肺癌的相對(duì)危險(xiǎn)度Y依次為15.10，12.81，9.72，3.21；每天吸煙支數(shù)U分別為10，20，30者，其得肺癌的相對(duì)危險(xiǎn)度V分別為7.5，9.5和16.6，用表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)，用r2表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是(　　)

A.r1＝r2B.r1＞r2＞0

C.0＜r1＜r2D.r1＜0＜r2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）記表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于80分”，估計(jì)的概率；

（Ⅲ）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績(jī)低于80分為“非優(yōu)秀”．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

參考公式及數(shù)據(jù)：，．

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝xln x－aex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)

A. B.(0，e)

C. D.(－∞，e)

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