Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．

（1）求證：平面平面PAD；

（2）求二面角F-AE-P的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明，然后可證明平面PAD，從而得證面面垂直；

（2）過點(diǎn)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求得二面角．

（1）證明：因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，所以．

又因?yàn)?/span>，，平面PAD，所以平面PAD．

又平面PCD，所以平面平面PAD．

（2）過點(diǎn)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，

所以，．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，．因?yàn)?/span>E為PD的中點(diǎn)，所以．

所以，，，所以，

所以．設(shè)平面AEF的法向量為，則

，令，則，．于是．

又因?yàn)槠矫?/span>PAD的一個(gè)法向量為，所以．

由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為．