Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象過原點(diǎn)，且|f（x）|≤1的解集為{x|-1≤x≤3}，求f（x）的解析式；
（2）若x=-1，0，1時(shí)的函數(shù)值的絕對(duì)值均不大于1，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求證：|ax+b|≤2．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到對(duì)稱軸，由此得到未知量．
（2）由題意得到三個(gè)不等式，由函數(shù)y=ax+b在[-1，1]上單調(diào)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）的圖象過原點(diǎn)，
∴c=0
∵|f（x）|≤1的解集為{x|-1≤x≤3}，
得到f（x）對(duì)稱軸為x=1
得：b=-2a
∵|f（-1）|=1，|f（3）|=1
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴f（x）的解析式是f（x）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x或f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x或
證明：（2）由題意得，|f（0）=|c|≤1|
|f（1）|=|a+b+c|≤1
|f（-1）|=|a-b+c|≤1|
∵函數(shù)y=ax+b在[-1，1]上單調(diào)，
∴|ax+b|≤max{|a+b|，|-a+b|}
又∵|a+b|≤|a+b+c|+|-c|≤2
|a-b|≤|a-b+c|+|-c|≤2
∴|ax+b|≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，涉及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性．