Question

10．已知實(shí)數(shù)c是a，b的等差中項(xiàng)，則直線l：ax-by+c=0被圓x²+y²=9所截得弦長(zhǎng)的取值范圍為$[\sqrt{34}，6]$．

Answer 1

分析 由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出等式并表示出c，由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離平方，由$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}≥（\frac{a+b}{2}）^{2}$求出距離平方的范圍，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出所截得弦長(zhǎng)的最小值，由直線過圓心求出最大值，即可求出所截得弦長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：∵實(shí)數(shù)c是a，b的等差中項(xiàng)，∴2c=a+b，則c=$\frac{a+b}{2}$，
∴圓心（0，0）到直線l：ax-by+c=0的距離平方：d²=${（\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}）}^{2}$=$\frac{（\frac{a+b}{2}）^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}≥（\frac{a+b}{2}）^{2}$，∴d²$≤\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴直線l被圓x²+y²=9所截得弦長(zhǎng)是：2$\sqrt{{r}^{2}-sgg0me2^{2}}$=2$\sqrt{9-0ooiqic^{2}}$$≥2\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$，
∵當(dāng)直線l過圓心（0，0）時(shí)，所得的弦長(zhǎng)最大是直徑為6，
∴所截得弦長(zhǎng)的取值范圍是$[\sqrt{34}，6]$，
故答案為：$[\sqrt{34}，6]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式，以及利用不等式求最值，屬于中檔題．