Question

20．設(shè)集合A={x|$\frac{（a-1）^{2}}{x-2a}$≥1}，B={x|x-3（a+1）x+6a+2≤0}，且A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由A與B的交集為A，得到A為B的子集，A中不等式變形后求出解集，B中不等式分情況討論表示出解集，根據(jù)A為B的子集列出不等式組，求出a的范圍即可．

解答 解：∵A∩B=A，
∴A⊆B，
由A中不等式變形得：$\frac{（a-1）^{2}}{x-2a}$-1≥0，即$\frac{{a}^{2}+1-x}{x-2a}$≥0，
整理得：$\frac{x-（{a}^{2}+1）}{x-2a}$≤0，
解得：2a＜x≤a²+1，即A=[2a，a²+1]，
由B中不等式變形得：（x-2）[x-（3a+1）]≤0，
當(dāng)3a+1≥2，即a≥$\frac{1}{3}$時(shí)，解得：2≤x≤3a+1，即B=[2，3a+1]，
則有$\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\\{a≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得：a≥3；
當(dāng)3a+1＜2，即a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，解得：3a+1≤x≤2，即B=[3a+1，2]，
則有$\left\{\begin{array}{l}{2a≥3a+1}\\{{a}^{2}+1＜2}\\{a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，無(wú)解，
綜上，a的范圍為a≥3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了交集及其運(yùn)算，以及其他不等式的解法，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．