【題目】已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2﹣2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象,并指出其單調區(qū)間.(不需要嚴格證明)

【答案】
(1)解:∵y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2﹣2x,

當x<0時,﹣x>0,

f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x,

∴f(x)=f(﹣x)=x2+2x,

∴f(x)=


(2)解:∵f(x)= ,

∴當x≥0時,y=x2﹣2x,拋物線開口向上,對稱軸方程為x=1,頂點坐標(1,﹣1),

當y=0時,x1=0,x2=2;當x=0時,y=0.

當x<0時,y=x2+2x,拋物線開口向上,對稱軸方程為x=﹣1,頂點坐標(﹣1,﹣1),

當y=0時,x=﹣2.

由此能作出函數(shù)f(x)的圖象如下:

結合圖象,知f(x)的增區(qū)間是(﹣1,0),(1,+∞);減區(qū)間是(﹣∞,﹣1),(0,1)


【解析】(1)由y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2﹣2x,知當x<0時,f(x)=f(﹣x)=x2+2x,由此能求出f(x)的解析式.(2)當x≥0時,y=x2﹣2x,拋物線開口向上,對稱軸方程為x=1,頂點坐標(1,﹣1),當y=0時,x1=0,x2=2;當x=0時,y=0;當x<0時,y=x2+2x,拋物線開口向上,對稱軸方程為x=﹣1,頂點坐標(﹣1,﹣1),當y=0時,x=﹣2.由此能作出函數(shù)f(x)的圖象.結合圖象,能求出f(x)的單調區(qū)間.
【考點精析】利用奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=2x , x∈(0,2)的值域為A,函數(shù)g(x)=log2(x﹣2a)+ (a<1)的定義域為B.
(1)求集合A,B;
(2)若BA,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是(
A.
B. ,g(x)=x+1
C.f(x)=|x|,
D. ,g(x)=

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù)),,

(Ⅰ) 試求曲線在點處的切線l與曲線的公共點個數(shù);(Ⅱ) 若函數(shù)有兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍.

(附:當,x趨近于0時, 趨向于

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況,下列敘述中正確的是(

A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米
B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多
C.某城市機動車最高限速80千米/小時,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
D.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的兩焦點為 , 為橢圓上一點,且到兩個焦點的距離之和為6.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若已知直線,當為何值時,直線與橢圓有公共點?

(3)若,求的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù)f(x)=ax﹣(m﹣2)ax (a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù).
(1)求m的值;
(2)若f(1)<0,試判斷y=f(x)的單調性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4﹣x)<0恒成立的t的取值范圍;
(3)若f(1)= ,g(x)=a2x+a2x﹣2f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度v(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度x (單位:尾/立方米)的函數(shù).當x不超過4尾/立方米時,v的值為2千克/年;當4<x≤20時,v是x的一次函數(shù),當x達到20尾/立方米時,因缺氧等原因,v的值為0千克/年.
(1)當0<x≤20時,求v關于x的函數(shù)表達式;
(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時,魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達到最大?并求出最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某學校實行自主招生,參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答,至少答對3個才能通過初試.已知甲、乙兩人參加初試,在這8個試題中甲能答對6個,乙能答對每個試題的概率為,且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.

(Ⅰ)求甲通過自主招生初試的概率;

(Ⅱ)試通過概率計算,分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大;

(Ⅲ)記甲答對試題的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.

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